証明の反論への反論 - i

0.999....=1である事の証明の反論への反論。http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20060714より。ネタにマジレス、だと思う。

一番目の反論への反論。

これは
$-9+9\times\frac{1}{1-\frac{1}{10}}$
の次で１にしてしまう所にごまかしがあります。順をおって計算してみます。
$=-9+9\times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}\\=-9+9\times\frac{1}{0.9}\\=-9+9\times 1.111\cdots\\=-9+9.999\cdots\\=0.999\cdots$
結局0.999…=0.999…ということを証明しているにすぎません。

$=-9+9\times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}\\=-9+9\times\frac{1}{\frac{9}{10}}\\=-9+9\times\frac{10}{9}\\=-9+10\\=1$
と変形してはいけない事が示されていないので反論になっていない。

二番目の反論への反論。

$\begin{eqnarray}x&=&0.999\cdots\\10x-x&=&9.999\cdots-0.999\cdots\\9x&=&9\end{eqnarray}$
ならば
$\begin{eqnarray}x&=&\cdots999\\10x-x&=&\cdots9990-\cdots999\\9x&=&-9\end{eqnarray}$
であると書かれているが、
$9+\lim_{n\rightar\infty}9\times(\frac{1}{10})^n = 9$
ならば
$-9+\lim_{n\rightar\infty}9\times10^n = -9$
であるとは限らない。

三番目の反論への反論。

実数の性質を用いて証明することも可能である。0.999...と1を異なる二つの実数であると仮定すると、実数の性質により、区間(0.999..., 1)には無数の実数が存在することになる。しかし、実際そのような実数は存在しない...

0.999…と1を異なる二つの実数であると仮定すれば、その間にある無数の実数を作り出すことができます。例えば0.999…のルートです。

元の証明が証明になっているのかという疑問もあるが、
その0.999...のルートが0.999...よりも大きな値として存在する事が示されていないので反論になっていない。

四番目の反論への反論。

ある数字を9で割ると、その数字が循環するような小数を得ることが出来る。

11/9や12/9を考えれば、ある数を9で割った場合に、その数が循環するとは限らないことがわかります。

元の証明には「ある数字」とあるが、実際に成立するのは1-8までの整数だけ。しかし、証明に際してはその成立している1-8までの整数の範囲で十分である。確かに11/9や12/9では成立しないが、それ以降の証明には影響が無いので、証明の論旨に対しては反論になっていない。